Potenzrechnung und Logarithmus

Potenzen: die Kurzschrift für Großes und Kleines

Eine Potenz ist nichts anderes als wiederholte Multiplikation: aⁿ heißt „a mal sich selbst, n-mal“. a ist die Basis, n der Exponent.

Die fünf Potenzregeln mit Basis und Exponent sowie Wurzeln als Bruchexponent. Warum ist a⁰ = 1? a³ / a³ = a3−3 = a0 – und links steht offensichtlich 1.

Fünf Regeln decken praktisch jede Aufgabe ab, und alle folgen direkt aus dem Ausschreiben:

Regel	Formel	Beispiel
gleiche Basis mal	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$10^2 \cdot 10^3 = 10^5$
gleiche Basis geteilt	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{10^5}{10^2} = 10^3$
Potenz einer Potenz	$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$	$(10^2)^3 = 10^6$
negativer Exponent	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$10^{-3} = 0{,}001$
Exponent null	$a^0 = 1$	$10^0 = 1$

Beim Multiplizieren addierst du die Exponenten, beim Dividieren subtrahierst du sie, aber nur bei gleicher Basis. Das ist die häufigste Fehlerquelle: $2^3 \cdot 5^3$ lässt sich nicht zusammenfassen, indem man die Exponenten addiert.

Warum ist $a^0 = 1$ ? Schreib die Divisionsregel hin: $\dfrac{a^3}{a^3} = a^0$ . Links steht offensichtlich 1. Damit ist es keine willkürliche Festlegung, sondern die einzige Möglichkeit, die die Regeln widerspruchsfrei hält.

Auch Wurzeln sind Potenzen, nämlich mit Bruch im Exponenten: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ und allgemein $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$ . Damit gelten für Wurzeln exakt dieselben fünf Regeln, du musst nichts Neues lernen.

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