Funktionen

Geradenfunktion

Die einfachste Funktion ist die lineare Funktion (Geradenfunktion) der Form f(x) = m·x + c (auch y = k·x + d geschrieben). Dabei ist m (bzw. k) die Steigung der Geraden und c (bzw. d) der y-Achsenabschnitt, also der Wert, den die Funktion bei x=0 annimmt (der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet).

Formal ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung (Abbildung): Jedem Element x der Definitionsmenge wird genau ein Element y der Zielmenge zugeordnet – geschrieben f: x ↦ f(x). Die Menge der dabei tatsächlich angenommenen y-Werte bezeichnet man als Wertemenge.

Die Steigung m entspricht dem sogenannten Differenzenquotienten: Nimmt man zwei beliebige Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) auf der Geraden, so berechnet sich die Steigung als m = Δy/Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Anschaulich beschreibt das Steigungsdreieck, wie stark sich der y-Wert ändert, wenn sich der x-Wert um eine Einheit ändert. Ist die Steigung positiv, verläuft die Gerade von links unten nach rechts oben; ist sie negativ, verläuft sie von links oben nach rechts unten. Kennt man zwei Punkte einer Geraden, lässt sich zunächst m aus dem Differenzenquotienten bestimmen und anschließend c durch Einsetzen eines der beiden Punkte in die Geradengleichung berechnen.

Ein Sonderfall ist die zur x-Achse parallele Gerade: Hier ist die Steigung m = 0, sodass die Funktionsgleichung nur noch f(x) = c lautet (eine Konstante, unabhängig von x). Verläuft eine solche Gerade z. B. durch den Punkt (4|8), so lautet die Funktionsgleichung schlicht y = 8, da sich der y-Wert für kein x ändert.