Funktionen

Geradenfunktion

Die einfachste Funktion ist die lineare Funktion (Geradenfunktion) der Form f(x) = m·x + c (auch y = k·x + d geschrieben). Dabei ist m (bzw. k) die Steigung der Geraden und c (bzw. d) der y-Achsenabschnitt, also der Wert, den die Funktion bei x=0 annimmt (der Punkt, an dem die Gerade die y-Achse schneidet).

Formal ist eine Funktion eine eindeutige Zuordnung (Abbildung): Jedem Element x der Definitionsmenge wird genau ein Element y der Zielmenge zugeordnet, geschrieben f: x ↦ f(x). Die Menge der dabei tatsächlich angenommenen y-Werte bezeichnet man als Wertemenge.

Die Steigung m entspricht dem sogenannten Differenzenquotienten: Nimmt man zwei beliebige Punkte P₁(x₁|y₁) und P₂(x₂|y₂) auf der Geraden, so berechnet sich die Steigung als m = Δy/Δx = (y₂−y₁)/(x₂−x₁). Anschaulich beschreibt das Steigungsdreieck, wie stark sich der y-Wert ändert, wenn sich der x-Wert um eine Einheit ändert. Ist die Steigung positiv, verläuft die Gerade von links unten nach rechts oben, ist sie negativ, verläuft sie von links oben nach rechts unten. Kennt man zwei Punkte einer Geraden, lässt sich zunächst m aus dem Differenzenquotienten bestimmen und anschließend c durch Einsetzen eines der beiden Punkte in die Geradengleichung berechnen.

Ein Sonderfall ist die zur x-Achse parallele Gerade: Hier ist die Steigung m = 0, sodass die Funktionsgleichung nur noch f(x) = c lautet (eine Konstante, unabhängig von x). Verläuft eine solche Gerade z. B. durch den Punkt (4|8), so lautet die Funktionsgleichung schlicht y = 8, da sich der y-Wert für kein x ändert.