Vektorrechnung

Betrag

Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, das über eine Größe (Länge) und eine Richtung verfügt und eine Parallelverschiebung in einer Ebene (2D) oder einem Raum (3D) bewirkt (grafisch wird er als Pfeil dargestellt). Er beginnt entweder an einem gegebenen Anfangspunkt oder, falls keiner angegeben ist, am Ursprungspunkt O(0|0|0), und endet an den Koordinaten, die ihn definieren.

Der Betrag |x| einer reellen Zahl x bezeichnet ihren nicht negativen Abstand von 0, unabhängig vom Vorzeichen. In der Vektoralgebra entspricht der Betrag eines Vektors seiner Länge, die immer positiv ist, unabhängig davon, in welche Richtung der Vektor zeigt. Berechnet wird sie mit dem Satz des Pythagoras: Denkt man sich die Vektorkomponenten als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, ergibt sich für einen zweidimensionalen Vektor a=(3, 5) der Betrag |a| = √(3² + 5²) = √34. Allgemein gilt für das dreidimensionale System: |a| = √(x₁² + x₂² + x₃²), eine Formel, die auch zur Berechnung des Abstands zweier Punkte verwendet wird, indem man zunächst den Verbindungsvektor (die Koordinatendifferenz) bildet und davon den Betrag nimmt.