Vektorrechnung

Betrag

Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt, das über eine Größe (Länge) und eine Richtung verfügt und eine Parallelverschiebung in einer Ebene (2D) oder einem Raum (3D) bewirkt – grafisch wird er als Pfeil dargestellt. Er beginnt entweder an einem gegebenen Anfangspunkt oder, falls keiner angegeben ist, am Ursprungspunkt O(0|0|0), und endet an den Koordinaten, die ihn definieren.

Der Betrag |x| einer reellen Zahl x bezeichnet ihren nicht negativen Abstand von 0, unabhängig vom Vorzeichen. In der Vektoralgebra entspricht der Betrag eines Vektors seiner Länge – diese ist immer positiv, unabhängig davon, in welche Richtung der Vektor zeigt. Berechnet wird sie mit dem Satz des Pythagoras: Denkt man sich die Vektorkomponenten als Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, ergibt sich für einen zweidimensionalen Vektor a=(3, 5) der Betrag |a| = √(3² + 5²) = √34. Allgemein gilt für das dreidimensionale System: |a| = √(x₁² + x₂² + x₃²) – dieselbe Formel wird auch für die Berechnung des Abstands zweier Punkte verwendet, indem man zunächst den Verbindungsvektor (die Koordinatendifferenz) bildet und davon den Betrag nimmt.