Formelsammlung

Diese Formelsammlung führt alles zusammen, was du für den BMS an Formeln brauchst: Chemie, Physik und Mathematik in einer einzigen Übersicht, dazu vorweg die Konstanten, die im Test vorausgesetzt und nicht mitgeliefert werden. Sie ist bewusst als Nachschlagewerk gebaut und nicht als Lerntext, denn die Herleitungen und Beispiele stehen jeweils im Kapitel selbst.

Ein Rat aus der Vorbereitung: Druck dir diese Seite aus und leg sie neben dich, solange du rechnest. Wer eine Formel zwanzigmal nachschlägt, kann sie danach, wohingegen zwanzigmaliges Googeln nur Zeit kostet. Insgesamt findest du hier 181 Formeln und Konstanten.

Die ganze Formelsammlung als PDF 12 Seiten, alle 181 Formeln und Konstanten — zum Ausdrucken und Danebenlegen.

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Konstanten und Basiswerte 16
Chemie 31
Physik 70
Mathematik 64

Konstanten und Basiswerte

Naturkonstanten

Avogadro-Konstante

N_A = 6{,}022\cdot 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}

Teilchen pro Mol; auch Loschmidt-Zahl

Universelle Gaskonstante

R = 8{,}314\ \mathrm{\frac{J}{mol\cdot K}}

in der allgemeinen Gasgleichung und bei van ‚t Hoff

Erdbeschleunigung

g \approx 9{,}81\ \mathrm{\frac{m}{s^2}}

im MedAT oft auf 10 m/s² gerundet

Gravitationskonstante

G = 6{,}674\cdot 10^{-11}\ \mathrm{\frac{N\cdot m^2}{kg^2}}

im Gravitationsgesetz

Elementarladung

e \approx 1{,}602\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}

kleinste frei vorkommende Ladung

Coulomb-Konstante

k \approx 8{,}987\cdot 10^{9}\ \mathrm{\frac{N\cdot m^2}{C^2}}

im Coulomb-Gesetz

Plancksches Wirkungsquantum

h \approx 6{,}626\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

verknüpft Photonenenergie und Frequenz

Lichtgeschwindigkeit

c \approx 3\cdot 10^{8}\ \mathrm{\frac{m}{s}}

im Vakuum, für alle elektromagnetischen Wellen gleich

Magnetische Feldkonstante

\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \mathrm{\frac{T\cdot m}{A}}

Permeabilität des Vakuums

Teilchenmassen

Protonenmasse

m_p \approx 1{,}673\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}

entspricht rund 1 u

Neutronenmasse

m_n \approx 1{,}675\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}

minimal schwerer als das Proton

Elektronenmasse

m_e \approx 9{,}109\cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg}

rund 1/2000 der Nukleonenmasse

Stoffwerte, die im Test vorausgesetzt werden

Molares Normvolumen

V_m = 22{,}4\ \mathrm{\frac{L}{mol}}

ideales Gas bei 0 °C und 1013 hPa

Ionenprodukt des Wassers

K_w = 10^{-14}\ \mathrm{\frac{mol^2}{L^2}}

bei 25 °C

Dichte von Wasser

\rho_{\text{Wasser}} \approx 1000\ \mathrm{\frac{kg}{m^3}}

Maximum bei 4 °C (Dichteanomalie)

Spezifische Wärmekapazität von Wasser

c_{\text{Wasser}} = 4{,}18\ \mathrm{\frac{J}{g\cdot K}}

ungewöhnlich hoch, deshalb guter Wärmespeicher

Chemie

Stoffmenge, Masse und Konzentration

Stoffmenge

n=\frac{m}{M}

n Stoffmenge in mol · m Masse in g · M molare Masse in g/mol

Teilchenzahl

N = n\cdot N_A

N Anzahl Teilchen · n Stoffmenge in mol

Stoffmengenkonzentration

c=\frac{n}{V}

c in mol/L · n Stoffmenge · V Volumen der Lösung

Massenkonzentration

\beta=\frac{m}{V}

in g/L; nicht mit der Stoffmengenkonzentration verwechseln

Dichte

\rho=\frac{m}{V}

in kg/m³ oder g/cm³ · unabhängig von der örtlichen Schwerkraft

Verdünnungsgesetz

c_1\cdot V_1 = c_2\cdot V_2

die Stoffmenge bleibt beim Verdünnen gleich

Atombau

Massenzahl

A = Z + N

A Massenzahl · Z Ordnungszahl (Protonen) · N Neutronenzahl

Maximale Elektronenzahl einer Schale

N_{\max} = 2n^{2}

n Schalennummer: K 2, L 8, M 18 Elektronen

Gase

Allgemeine Gasgleichung

p\cdot V = n\cdot R\cdot T

p Druck in Pa · V Volumen · n Stoffmenge · T Temperatur in Kelvin

Kombinierte Gasgleichung

\frac{p\cdot V}{T} = \text{konstant}

aus ihr folgen alle drei Spezialfälle

Gesetz von Boyle-Mariotte

p_1\cdot V_1 = p_2\cdot V_2

bei konstanter Temperatur (isotherm)

Gesetz von Gay-Lussac

\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}

bei konstantem Druck (isobar) · T immer in Kelvin

Gesetz von Amontons

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}

bei konstantem Volumen (isochor)

Kelvin aus Celsius

T_{\mathrm{K}} = \vartheta_{^\circ\mathrm{C}} + 273{,}15

in jeder Gasgleichung zuerst umrechnen

Chemisches Gleichgewicht

Massenwirkungsgesetz

K=\frac{[\text{C}]^{c}\cdot[\text{D}]^{d}}{[\text{A}]^{a}\cdot[\text{B}]^{b}}

für aA + bB ⇌ cC + dD · Produkte oben, Edukte unten · Feststoffe und Lösungsmittel entfallen

Gleichgewichtskonstante aus den Geschwindigkeitskonstanten

K=\frac{k_{\text{hin}}}{k_{\text{rück}}}

im Gleichgewicht laufen Hin- und Rückreaktion gleich schnell

Reaktionsgeschwindigkeit

v = k\cdot[\text{Edukt}]^{n}

n Reaktionsordnung · k steigt mit Temperatur und mit Katalysator

Löslichkeitsprodukt

K = [\text{A}^{m+}]^{a}\cdot[\text{B}^{n-}]^{b}

für ein schwerlösliches Salz AaBb · nur die gelösten Ionen zählen

Gibbs-Helmholtz-Gleichung

\Delta G = \Delta H – T\cdot\Delta S

ΔG < 0 exergon (freiwillig) · ΔG = 0 Gleichgewicht · ΔG > 0 endergon

Freie Enthalpie und Gleichgewichtskonstante

\Delta G^{\circ} = -R\,T\cdot\ln K

großes K bedeutet Produktseite und negatives ΔG°

Säuren und Basen

Ionenprodukt des Wassers

K_w = [\text{H}_3\text{O}^+]\cdot[\text{OH}^-] = 10^{-14}

in reinem Wasser ist jede Konzentration 10⁻⁷ mol/L

pH-Wert

\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}_3\text{O}^+]

eine pH-Stufe entspricht dem Faktor 10

pOH-Wert

\text{pOH} = -\log_{10}[\text{OH}^-]

analog zum pH für die Hydroxid-Ionen

Zusammenhang pH und pOH

\text{pH} + \text{pOH} = 14

bei 25 °C · reines Wasser hat pH = pOH = 7

Säurekonstante

K_S=\frac{[\text{H}_3\text{O}^+]\cdot[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}

großes Ks bedeutet starke Säure

pKs-Wert

\text{p}K_S = -\log_{10}K_S

kleiner pKs = starke Säure · ab etwa 4 gilt eine Säure als schwach

Säure und konjugierte Base

\text{p}K_S + \text{p}K_B = 14

bei 25 °C · starke Säure, sehr schwache konjugierte Base

pH einer starken Säure

\text{pH} = -\log_{10}c_0

vollständige Dissoziation · 0,01 mol/L HCl ergibt pH 2

Konzentration bei schwacher Säure

[\text{H}_3\text{O}^+]=\sqrt{K_S\cdot c_0}

nur teilweise Dissoziation, deshalb die Wurzel

pH einer schwachen Säure

\text{pH} = \tfrac{1}{2}\left(\text{p}K_S – \log_{10}c_0\right)

logarithmierte Form der Wurzelformel

Henderson-Hasselbalch-Gleichung

\text{pH} = \text{p}K_S + \log_{10}\frac{[\text{A}^-]}{[\text{HA}]}

Puffergleichung · bei gleichen Konzentrationen ist pH = pKs

Physik

Bewegung und Kraft

Geschwindigkeit

v=\frac{s}{t}

Durchschnittsgeschwindigkeit · s Weg · t Zeit

Beschleunigung

a=\frac{\Delta v}{\Delta t}

in m/s² · negativ beim Bremsen

Zweites Newtonsches Axiom

F = m\cdot a

dynamisches Grundgesetz · 1 N = 1 kg·m/s²

Gewichtskraft

F_G = m\cdot g

Masse bleibt überall gleich, die Gewichtskraft nicht

Gravitationsgesetz

F = G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^{2}}

doppelter Abstand bedeutet ein Viertel der Kraft

Reibungskraft

F_R = \mu\cdot F_N

μ Reibungszahl · Haftreibung ist grösser als Gleitreibung

Hangabtriebskraft

F_H = F_G\cdot\sin\alpha

α Neigungswinkel der schiefen Ebene

Normalkraft auf der schiefen Ebene

F_N = F_G\cdot\cos\alpha

drückt den Körper gegen die Unterlage

Arbeit, Energie, Leistung, Impuls

Mechanische Arbeit

W = F\cdot s\cdot\cos\alpha

α Winkel zwischen Kraft und Weg · Halten allein ist keine Arbeit

Leistung

P=\frac{W}{t}

1 W = 1 J/s · Joule und Watt sind nicht ineinander umrechenbar

Kinetische Energie

E_{\text{kin}}=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}

doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Energie

Potentielle Energie

E_{\text{pot}} = m\cdot g\cdot h

Lageenergie im Schwerefeld

Energieerhaltungssatz

E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konstant}

im abgeschlossenen System ohne Reibung

Impuls

p = m\cdot v

vektorielle Grösse in kg·m/s · bleibt im abgeschlossenen System erhalten

Drehimpuls

L = I\cdot\omega

I Trägheitsmoment · rotatorisches Gegenstück zum Impuls

Rotation

Drehmoment

M = F\cdot l\cdot\sin\alpha

maximal bei 90° zwischen Kraft und Hebelarm, dann M = F·l

Hebelgesetz

F_1\cdot l_1 = F_2\cdot l_2

Gleichgewicht am zweiseitigen Hebel

Bahngeschwindigkeit

v = \omega\cdot r

aussen liegende Punkte sind schneller, die Winkelgeschwindigkeit bleibt gleich

Winkelgeschwindigkeit

\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t} = 2\pi f

in rad/s

Periodendauer und Frequenz

T=\frac{1}{f}

T in s · f in Hz

Zentripetalkraft

F_{\text{zp}}=\frac{m\,v^{2}}{r}

zeigt zur Kreismitte · die Zentrifugalkraft ist nur eine Scheinkraft

Flüssigkeiten und Gase

Auftriebskraft (Archimedes)

F_A = \rho_{\text{Fluid}}\cdot g\cdot V_{\text{Körper}}

es zählt die Dichte des Fluids, nicht die des Körpers

Volumenstromstärke

Q = A\cdot v

A Querschnittsfläche · v Strömungsgeschwindigkeit

Kontinuitätsgleichung

A_1\cdot v_1 = A_2\cdot v_2

enger Querschnitt bedeutet höhere Geschwindigkeit

Gesetz von Bernoulli

p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho\,g\,h = \text{konstant}

wo die Strömung schneller ist, ist der statische Druck kleiner

Druck

p=\frac{F}{A}

1 Pa = 1 N/m² · 1 bar = 10⁵ Pa

Schwingungen und Wellen

Hookesches Gesetz

F = -D\cdot s

D Federkonstante in N/m · das Minus zeigt die Rückstellrichtung

Rücktreibende Kraft am Fadenpendel

F_0 = F_G\cdot\sin\theta

für θ < 10° gilt näherungsweise sin θ ≈ θ

Harmonische Schwingung

y(t) = y_0\cdot\sin(\omega t + \varphi)

y₀ Amplitude · φ Phasenwinkel

Gedämpfte Schwingung

y(t) = y_0\cdot\sin(\omega t+\varphi)\cdot e^{-\delta t}

die Amplitude nimmt ab, die Frequenz bleibt

Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Welle

c = \lambda\cdot f

beim Medienwechsel ändert sich λ, nicht f

Wellenzahl

k=\frac{2\pi}{\lambda}

in der Wellengleichung y(x,t) = y₀·sin(kx − ωt + φ)

Wärmelehre

Kelvin aus Celsius

T_{\mathrm{K}} = \vartheta_{^\circ\mathrm{C}} + 273{,}15

ein Unterschied von 1 K entspricht genau 1 °C

Wärmemenge

Q = m\cdot c\cdot\Delta T

c spezifische Wärmekapazität in J/(kg·K)

Längenausdehnung

\Delta L = \alpha\cdot L_0\cdot\Delta T

α Längenausdehnungskoeffizient

Volumenausdehnung

\Delta V = \gamma\cdot V_0\cdot\Delta T

bei Festkörpern gilt näherungsweise γ ≈ 3α

Erster Hauptsatz

\Delta U = Q – W

zugeführte Wärme erhöht die innere Energie, verrichtete Arbeit senkt sie

Zweiter Hauptsatz

\Delta S \geq 0

im abgeschlossenen System nimmt die Entropie nie ab

Carnot-Wirkungsgrad

\eta = 1 – \frac{T_{\text{kalt}}}{T_{\text{heiß}}}

theoretisches Maximum · Temperaturen in Kelvin

Osmotischer Druck (van ‚t Hoff)

\pi = c\cdot R\cdot T

c Konzentration aller gelösten Teilchen

Elektrizität

Gesamtladung

Q = n\cdot e

n Anzahl der überschüssigen Ladungsträger

Coulomb-Gesetz

F = k\cdot\frac{Q_1\cdot Q_2}{r^{2}}

gleichnamige Ladungen stossen sich ab

Elektrische Feldstärke

E=\frac{F}{q}

in N/C beziehungsweise V/m

Feldstärke einer Punktladung

E = k\cdot\frac{Q}{r^{2}}

nimmt wie die Coulomb-Kraft quadratisch ab

Elektrische Spannung

U=\frac{W}{q}

1 V = 1 J/C · im homogenen Feld gilt U = E·s

Stromstärke

I=\frac{Q}{t}

1 A entspricht 1 C pro Sekunde

Ohmsches Gesetz

U = R\cdot I

Eselsbrücke URI · im U-I-Diagramm eine Gerade durch den Ursprung

Widerstand eines Leiters

R = \rho\cdot\frac{l}{A}

länger oder dünner bedeutet mehr Widerstand

Leitfähigkeit

\sigma=\frac{1}{\rho}

Kehrwert des spezifischen Widerstands, Einheit S/m

Reihenschaltung

R_{\text{ges}} = R_1 + R_2 + \ldots

Strom überall gleich, Spannungen addieren sich

Parallelschaltung

\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots

immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand

Knotenregel (1. Kirchhoff)

\textstyle\sum I_{\text{zu}} = \sum I_{\text{ab}}

folgt aus der Ladungserhaltung

Maschenregel (2. Kirchhoff)

\textstyle\sum U = 0

Summe aller Spannungen in einer geschlossenen Masche

Elektrische Leistung

P = U\cdot I

daraus folgt auch P = R·I² und P = U²/R

Elektrische Arbeit

W = U\cdot I\cdot t

der Stromzähler misst genau diese Grösse in kWh

Effektivwert der Wechselspannung

U_{\text{eff}}=\frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}

230 V effektiv entsprechen rund 325 V Scheitelwert

Magnetismus

Magnetische Flussdichte

B = \mu\cdot H

μ = μ₀·μr · Einheit Tesla

Feldstärke einer Spule

H=\frac{N\cdot I}{l}

N Windungszahl · l Spulenlänge

Lorentzkraft auf eine Ladung

F = q\cdot v\cdot B\cdot\sin\theta

θ Winkel zwischen Bewegung und Feldlinien

Lorentzkraft auf einen Leiter

F = I\cdot l\cdot B\cdot\sin\theta

l Länge des Leiterstücks im Feld

Magnetischer Fluss

\Phi = B\cdot A

Induktion tritt nur auf, wenn sich Φ ändert

Optik

Brechungsindex

n=\frac{c}{v}

immer ≥ 1 · Wasser rund 1,33, Glas 1,5 bis 1,9

Snelliussches Brechungsgesetz

n_1\cdot\sin\theta_1 = n_2\cdot\sin\theta_2

ins dichtere Medium wird zum Lot hin gebrochen

Linsengleichung

\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}

f Brennweite · g Gegenstandsweite · b Bildweite

Brechkraft

D=\frac{1}{f}

in Dioptrien, f in Metern · Sammellinse positiv, Zerstreuungslinse negativ

Atom- und Kernphysik

Photonenenergie

E = h\cdot f

kurze Wellenlänge bedeutet hohe Energie

Wellenlänge aus der Frequenz

\lambda=\frac{c}{f}

für alle elektromagnetischen Wellen

Masse-Energie-Äquivalenz

E = \Delta m\cdot c^{2}

erklärt den Massendefekt und die Energie aus Kernspaltung und Fusion

Radioaktiver Zerfall

N(t) = N_0\cdot e^{-\lambda t}

nach jeder Halbwertszeit ist die Hälfte übrig

Schwächung von Gammastrahlung

I = I_0\cdot e^{-\mu x}

μ Schwächungskoeffizient · x Materialdicke

Mathematik

Potenzen und Wurzeln

Potenz mit Exponent null

x^{0} = 1

für jede Basis ausser 0

Negativer Exponent

x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}

ergibt den Kehrwert

Multiplikation gleicher Basen

x^{m}\cdot x^{n} = x^{m+n}

Exponenten addieren

Division gleicher Basen

\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m-n}

Exponenten subtrahieren

Potenz einer Potenz

\left(x^{n}\right)^{m} = x^{n\cdot m}

Exponenten multiplizieren

Wurzel als Potenz

\sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}

Nenner ist der Wurzelexponent

Gleiche Exponenten

x^{n}\cdot y^{n} = (x\cdot y)^{n}

zuerst die Basen verrechnen, dann potenzieren

Wurzel aus einer Zehnerpotenz

\sqrt{10^{n}} = 10^{\frac{n}{2}}

beim Wurzelziehen wird der Exponent halbiert

Logarithmus

Definition

y = a^{x} \;\Longleftrightarrow\; x = \log_a(y)

der Logarithmus fragt nach dem Exponenten

Logarithmus von eins

\log_b(1) = 0

weil b⁰ = 1 für jede Basis gilt

Produktregel des Logarithmus

\log(x\cdot y) = \log x + \log y

Multiplikation wird zur Addition

Quotientenregel des Logarithmus

\log\frac{x}{y} = \log x – \log y

für x > y > 0 ist das Ergebnis positiv

Potenzregel des Logarithmus

\log\left(x^{n}\right) = n\cdot\log x

der Exponent wandert nach vorne

Halbwertszeiten bestimmen

t=\frac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}5)}

Beispiel: Zeit bis auf 10 % der Ausgangsmenge, in Halbwertszeiten

Prozent- und Schlussrechnung

Prozentsatz

p=\frac{W}{G}\cdot 100\,\%

G Grundwert (100 %) · W Prozentwert

Prozentwert

W=\frac{p\cdot G}{100}

aus Grundwert und Prozentsatz

Grundwert

G=\frac{W\cdot 100}{p}

aus Prozentwert und Prozentsatz

Promille

p_{‰}=\frac{p}{1000}

Promillesatz durch 10 ergibt den Prozentsatz

Parts per million

1\ \text{ppm} = 10^{-6}

entspricht 1 µg pro Gramm

Flächen und Umfänge

Kreis

U = 2\pi r \qquad A = \pi r^{2}

d = 2r · π ist Umfang durch Durchmesser

Kreisausschnitt

A_{\text{Teil}} = \frac{\text{Anteil}}{1}\cdot\pi r^{2}

Dreiviertelkreis also 0,75·πr²

Rechteck

U = 2a + 2b \qquad A = a\cdot b

Quadrat als Sonderfall: U = 4a, A = a²

Parallelogramm

A = a\cdot b\cdot\sin\alpha

bei α = 90° wird daraus wieder a·b

Trapez

A = \frac{(a+c)\cdot h}{2}

a und c sind die beiden parallelen Seiten

Gleichseitiges Dreieck

h = \frac{a}{2}\sqrt{3} \qquad A = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

alle Winkel 60°

Dreieckssätze

Satz des Pythagoras

a^{2} + b^{2} = c^{2}

nur im rechtwinkligen Dreieck · c ist die Hypotenuse

Sinussatz

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}

für beliebige Dreiecke

Kosinussatz

a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bc\cdot\cos\alpha

für den SWS-Fall: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Innenwinkelsumme

\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ

im Viereck sind es 360°

Körper

Prisma

V = G\cdot h \qquad A_O = 2G + U\cdot h

G Grundfläche · U deren Umfang

Quader

V = a\cdot b\cdot c \qquad A_O = 2(ab + ac + bc)

drei unterschiedliche Kantenlängen

Würfel

V = a^{3} \qquad A_O = 6a^{2}

Flächendiagonale a√2 · Raumdiagonale a√3

Zylinder

V = \pi r^{2}h \qquad A_O = 2\pi r^{2} + 2\pi r h

Mantelfläche allein: 2πrh

Kegel

V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2}h \qquad M = \pi r s

Mantellinie s = √(r² + h²)

Kugel

V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} \qquad A_O = 4\pi r^{2}

nach r umgestellt: r = ∛(3V/4π)

Pyramide

V = \tfrac{1}{3}G\cdot h \qquad A_O = \tfrac{1}{2}U\cdot L + G

L schräge Höhe der Seitenflächen

Ähnliche Körper

V_{\text{neu}} = k^{3}\cdot V_{\text{alt}}

alle Längen mal k · Flächen wachsen mit k²

Trigonometrie

Sinus

\sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

im rechtwinkligen Dreieck

Kosinus

\cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

am Einheitskreis die x-Koordinate

Tangens

\tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Polstellen bei 90° und 270°

Verschiebung um 90 Grad

\sin\alpha = \cos(90^\circ – \alpha)

Sinus und Kosinus sind phasenverschoben

Bogenmaß

\text{rad} = \alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}

voller Kreis 360° = 2π

Steigung aus dem Steigungswinkel

k = \tan\alpha

16 % Steigung bedeutet tan α = 0,16

Kleinwinkelnäherung

\sin\alpha \approx \alpha

nur für α < 10° und α im Bogenmaß

Funktionen

Lineare Funktion

f(x) = m\cdot x + c

m Steigung · c y-Achsenabschnitt

Steigung aus zwei Punkten

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}

Differenzenquotient

Verschobene Parabel

f(x) = m(x-d)^{2} + c

d verschiebt in x-Richtung, c in y-Richtung

Exponentialfunktion

f(x) = e^{x}

geht durch (0|1) · Asymptote y = 0

Exponentieller Zerfall

N(t) = N_0\cdot e^{-kt}

radioaktiver Zerfall, Medikamentenabbau

Differential- und Integralrechnung

Ableitung der Potenzfunktion

f(x) = x^{b} \;\Rightarrow\; f'(x) = b\cdot x^{b-1}

Exponent nach vorne, dann um 1 verringern

Ableitung der e-Funktion

f(x) = e^{x} \;\Rightarrow\; f'(x) = e^{x}

sie ist ihre eigene Ableitung

Produktregel der Ableitung

(a\cdot b)‘ = a’\cdot b + a\cdot b‘

für ein Produkt zweier Funktionen

Kettenregel

\big(f(g(x))\big)‘ = f'(g(x))\cdot g'(x)

äussere mal innere Ableitung

Hoch- und Tiefpunkte

f'(x) = 0

am Wendepunkt gilt dagegen f“(x) = 0

Unbestimmtes Integral

\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Exponent erhöhen und durch den neuen teilen

Integral von 1 durch x

\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C

Sonderfall, die Potenzregel versagt hier

Bestimmtes Integral

A = F(x_2) - F(x_1)

Fläche unter der Kurve zwischen zwei Grenzen

Vektorrechnung

Betrag eines Vektors

|\vec{a}| = \sqrt{x_1^{2} + x_2^{2} + x_3^{2}}

Pythagoras im Raum · auch der Abstand zweier Punkte

Addition und Subtraktion

\vec{a} \pm \vec{b} = (a_1\pm b_1,\; a_2\pm b_2,\; a_3\pm b_3)

komponentenweise · nur bei gleicher Dimension

Verbindungsvektor

\vec{AB} = B – A

Spitze minus Fuss

Skalarprodukt

\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor

Winkel zwischen zwei Vektoren

\cos\alpha = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}

α liegt zwischen 0° und 180°

Orthogonalitätsbedingung

\vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 90^\circ

Skalarprodukt null bedeutet senkrecht

Kreuzprodukt

\vec{a}\times\vec{b} = (a_2b_3 – a_3b_2,\; a_3b_1 – a_1b_3,\; a_1b_2 – a_2b_1)

Ergebnis steht senkrecht auf beiden Vektoren